Projet ANR JCJC GLOBES

ANR-12-JS01-0007

Espaces de Berkovich globaux

2013 - 2017

 

Description du projet

Dans ce projet, nous nous proposons de mener une étude systématique poussée de la géométrie analytique globale, c'est-à-dire de la géométrie analytique des espaces définis sur des anneaux d'entiers de corps de nombres.

La géométrie analytique a d'abord été développée sur le corps des nombres complexes et y a connu de très nombreux succès. Plus récemment, les travaux de Tate et d'autres à sa suite (Berkovich, Huber, etc.) ont posé les bases de la géométrie analytique sur tout corps valué complet (avec l'exemple particulièrement intéressant des corps p-adiques). Cette théorie est maintenant bien développée et a donné lieu à de nombreuses applications (au programme de Langlands, en dynamique, en intégration motivique, etc.).

La définition d'espace analytique proposée par Berkovich permet d'aller encore plus loin et de définir des espaces analytiques sur les anneaux d'entiers de corps de nombres. Ces espaces « globaux » possèdent une structure naturelle d'espaces fibrés dont les fibres sont des espaces analytiques complexes ou p-adiques. La géométrie de ces espaces, bien que riche de promesses, a été très peu étudiée jusqu'ici et nous nous proposons de nous atteler à ce travail.

Dans ce projet, nous souhaitons aborder différents aspects des espaces analytiques globaux. Dans un premier temps, nous prévoyons de nous consacrer à une étude locale de ces espaces pour y démontrer des résultats analogues à ceux dont jouissent les espaces complexes ou p-adiques. Nous tâcherons également de comprendre autant que faire se peut la cohomologie des faisceaux cohérents et même des fibrés métrisés, pour faire le lien avec la théorie d'Arakelov.

Par la suite, nous nous attacherons à la topologie des espaces analytiques globaux en considérant tout d'abord leur vraie topologie, puis leur topologie étale (qui n'est, à l'heure actuelle, pas définie). Nous prévoyons également d'étudier les groupes fondamentaux associés. Au cours de ces recherches, nous espérons parvenir entre autres à donner des interprétations géométriques à certains invariants des corps de nombres. Nous essaierons également de mettre en lumière les liens qui existent entre la topologie étale des espaces analytiques globaux et la topologie Weil-étale des schémas arithmétiques.

Finalement, nous travaillerons sur les applications de la théorie des espaces analytiques globaux. Nous espérons en effet, à l'aide des techniques développées, pouvoir construire des espaces possédant de bonnes propriétés. De telles constructions trouveraient aisément des applications aussi bien au problème inverse de Galois qu'en théorie de l'information.

Partenaires: ANR, IMB, IMJ, IRMA, KU Leuven, LMB, PMB, Poncelet, LMNO, UPF